应东北大学数学与交叉科学研究中心邀请，9月24日，中国人民大学数学学院葛化彬教授在建筑馆311作题为“组合 Yamabe复杂度与三维流形的几何化”的学术报告。本次报告为东北大学“数学与交叉科学研究中心前沿论坛”第3讲，活动由陈艳萍教授主持，吸引了众多师生到场聆听与交流。
报告中，葛化彬教授从三维流形的光滑Yamabe理论出发，介绍了Yamabe不变量与三维流形几何、拓扑之间的联系，并结合Thurston几何化理论和 JSJ 分解，阐释了其与双曲部分体积及Gromov范数之间的关系。在此基础上，他进一步介绍了Cooper–Rivin球填充度量及离散曲率模型，说明如何由离散Yamabe泛函构造组合Yamabe复杂度，并通过对不同三角剖分进行优化，将局部的离散曲率变分问题转化为三维流形的拓扑复杂度。随后，葛化彬教授重点介绍了组合Yamabe复杂度与经典Matveev复杂度之间的定量比较，以及在有限覆盖下进行稳定化后与Gromov范数和双曲JSJ体积之间的联系。报告最后，葛化彬教授总结了相关研究的主要进展，从组合Yamabe泛函构造变分型拓扑复杂度、建立其与经典组合拓扑不变量关系等方面等。通过闭双曲三维流形和Sol环面丛等例子，他进一步说明了普通复杂度与稳定复杂度之间的区别，展示了离散标量曲率变分方法在提取三维流形全局几何与拓扑信息方面的作用和潜力。
报告结束后，葛化彬教授与在场师生围绕组合Yamabe不变量、有限覆盖下的稳定化、Gromov范数以及三维流形几何化等问题展开了深入讨论。与会师生表示，本次报告加深了大家对离散几何、三维流形拓扑与Yamabe理论之间联系的认识，也为相关问题的进一步研究提供了新的思路。
葛化彬，北京大学博士、博士后，现为中国人民大学数学学院教授、博士生导师，2025年获国家自然科学基金青年科学基金项目（A类）资助。主要从事三维流形的几何与拓扑研究。其合作研究推广了柯西刚性定理与Thurston圆锥积理论，部分解决了Thurston几何剖分猜想，并完全解决了Cheeger–Tian与林芳华提出的相关正则性猜想。近年来，其研究逐步形成两条相互关联的主线：一条围绕组合Ricci流及其在三维双曲化、几何拓扑结构和Thurston几何三角剖分中的作用展开；另一条从无穷圆锥积与无穷双曲多面体出发，研究无穷组合拓扑结构及其几何实现，并进一步探讨其与随机游走、边界理论和随机三维几何之间的联系。
供稿人：陈艳萍
